Піснь про Великий Похід

Світлина: Журнал "Трамвай"

Іноді лише в зрілому віці ми пізнаємо глибоку суть того, що читали або чули в ранньому дитинстві. Нещодавно натрапивши в одній з книг на теорему Гудстайна, мені здалось, що начебто вона відома мені ще змалку. Зрозуміло, що, будучи дитиною, знати таку математику я не міг, але вона дивним чином перекликається з одним з моїх найбільш улюблених дитячих віршиків.

Опубліковано його було в дитячому журналі "Трамвай", який недовго виходив з друку в останні роки існування Радянського Союзу, належить перу відомого радянського перекладача Григорія Кружкова та має назву "Песнь о Великом Походе". Наводжу його в оригіналі:

 

Великий Царь построил Великий Корабль.
Великому Полководцу даёт он приказ:
Великое Войско скорее на борт погрузить,
Великое Знамя своё водрузить на носу.
Но была в том Великом Корабле
Маленькая-маленькая дырочка...

«Бум-бум!» - прогремел Великий Салют,
Великий Парус над Мачтой Великой взлетел,
С Великим Скрипом Великий двинулся Руль -
Вот так начался этот Великий Поход.
Но была в том Великом Корабле
Маленькая-маленькая дырочка...

Великий Царь оглядывает горизонт,
Великого Полководца к себе он зовёт,
С Великой Важностью в этот Великий Час
Великую Тайну он открывает ему.
(Но, конечно, не про дырочку,
Потому что про дырочку Царь не знает...)

А говорит он так:

«Великий Океан перед нами лежит,
Великие Звёзды нам освещают путь,
Великие Страны мы завоюем с тобой,
Великий Орден тебе я повешу на грудь!»
(А знал бы про дырочку – не загадывал бы так далеко)

Но он продолжает:

«Захватим себе слонов и верблюдов,
Золото, жемчуг и медь.
Великие Владыки Великих Племён
С Великой Завистью будут на нас глядеть!»
Но была в том Великом Корабле
Маленькая-маленькая, просто крошечная дырочка...

? вот наступает над морем Великая Ночь,
? всеми овладевает Великий Сон...
Великий Царь, где твой корабль, ау?
Молчит и не может в ответ аукнуться он -
Ведь была в том Великом Корабле
Маленькая-маленькая, просто незаметная
? тем более опасная дырочка...

 Ось такий собі віршик. Хтось, пригадавши класика, спитає: "Ну і до чого це все? Краще б горілки випили!" І тут з'являється теорема Гудстайна. коротко її суть полягає в наступному.

Послідовність Гудстайна числа m, яку позначають як G(m), визначається наступним чином. Першим елементом послідовності є число m. Щоб отримати наступний елемент, необхідно записати шукане число в вигляді суми двійок в другій ступені, притім ступені мають містити лише двійки та одиниці. Наприклад, 35 = 2^(2^2+1) +2 +1). Після цього двійки змінюють на трійки та віднімають з результату одиницю. Це буде другий елемент послідовності G(m). Для отримання третього елемента необхідно записати другий елемент в вигляді суми трійок зі ступенями трійки, змінити трійки на четвірки та відняти від результата одиницю. І так далі.

Не довго думаючи, можна сказати, що послідовність все зростатиме і зростатиме, прямуючи до безкінечності, адже показники ступені постійно зростають, являючи собою натуральний ряд. Проте цей, на перший погляд, логічний висновок є невірним: Гудстайн показав, що послідовність наближається зовсім не до безкінечності, а до нуля, який і буде останнім елементом! Власне, теорема Гудстайна і стверджує, що ряд Гудстайна для будь-якого числа закінчується нулем. Простий приклад для m=3 наводиться в Вікіпедії.

Особливість в тому, що дану теорему не можна довести в межах арифметики Пеано, тобто використовуючи арифметичні аксіоми. Для доказу використовуються трансфінітна індукція та цілком впорядковані множини. Суть доказу наступна: маючи послідовність Гудстайна, ми ставимо їй у відповідність послідовність порядкових чисел, елементи якої є не меншими, ніж елементи послідовності Гудстайна. Якщо елементи другого ряду наближатиметься до нуля (а вони наближатимуться через властивості цілком впорядкованих множин, які обов'язково мають найменший елемент), то й елементи першої також мають прямувати до нього.

Більш докладно в цьому  кожен може розібратися особисто, якщо має бажання: досить зрозумілий доказ наводиться тут. А я лише хочу акцентувати увагу на тому, що у всьому винна "маленька-маленька дірочка": одиничка, яку ми віднімаємо на кожному кроці формування послідовності Гудстайна, через величезну, але кінечну кількість кроків, "з'їдає" всю башту ступенів!


Ще еспресо