Піснь про Великий Похід
Іноді лише в зрілому віці ми пізнаємо глибоку суть того, що читали або чули в ранньому дитинстві. Нещодавно натрапивши в одній з книг на теорему Гудстайна, мені здалось, що начебто вона відома мені ще змалку. Зрозуміло, що, будучи дитиною, знати таку математику я не міг, але вона дивним чином перекликається з одним з моїх найбільш улюблених дитячих віршиків.
Опубліковано його було в дитячому журналі "Трамвай", який недовго виходив з друку в останні роки існування Радянського Союзу, належить перу відомого радянського перекладача Григорія Кружкова та має назву "Песнь о Великом Походе". Наводжу його в оригіналі:
|
Великий Царь построил Великий Корабль. «Бум-бум!» - прогремел Великий Салют, Великий Царь оглядывает горизонт, А говорит он так: «Великий Океан перед нами лежит, Но он продолжает: «Захватим себе слонов и верблюдов, ? вот наступает над морем Великая Ночь, |
 |
Ось такий собі віршик. Хтось, пригадавши класика, спитає: "Ну і до чого це все? Краще б горілки випили!" І тут з'являється теорема Гудстайна. коротко її суть полягає в наступному.
Послідовність Гудстайна числа m, яку позначають як G(m), визначається наступним чином. Першим елементом послідовності є число m. Щоб отримати наступний елемент, необхідно записати шукане число в вигляді суми двійок в другій ступені, притім ступені мають містити лише двійки та одиниці. Наприклад, 35 = 2^(2^2+1) +2 +1). Після цього двійки змінюють на трійки та віднімають з результату одиницю. Це буде другий елемент послідовності G(m). Для отримання третього елемента необхідно записати другий елемент в вигляді суми трійок зі ступенями трійки, змінити трійки на четвірки та відняти від результата одиницю. І так далі.
Не довго думаючи, можна сказати, що послідовність все зростатиме і зростатиме, прямуючи до безкінечності, адже показники ступені постійно зростають, являючи собою натуральний ряд. Проте цей, на перший погляд, логічний висновок є невірним: Гудстайн показав, що послідовність наближається зовсім не до безкінечності, а до нуля, який і буде останнім елементом! Власне, теорема Гудстайна і стверджує, що ряд Гудстайна для будь-якого числа закінчується нулем. Простий приклад для m=3 наводиться в Вікіпедії.
Особливість в тому, що дану теорему не можна довести в межах арифметики Пеано, тобто використовуючи арифметичні аксіоми. Для доказу використовуються трансфінітна індукція та цілком впорядковані множини. Суть доказу наступна: маючи послідовність Гудстайна, ми ставимо їй у відповідність послідовність порядкових чисел, елементи якої є не меншими, ніж елементи послідовності Гудстайна. Якщо елементи другого ряду наближатиметься до нуля (а вони наближатимуться через властивості цілком впорядкованих множин, які обов'язково мають найменший елемент), то й елементи першої також мають прямувати до нього.
Більш докладно в цьому кожен може розібратися особисто, якщо має бажання: досить зрозумілий доказ наводиться тут. А я лише хочу акцентувати увагу на тому, що у всьому винна "маленька-маленька дірочка": одиничка, яку ми віднімаємо на кожному кроці формування послідовності Гудстайна, через величезну, але кінечну кількість кроків, "з'їдає" всю башту ступенів!
