Тонке мистецтво математичної гіпотези

Сходження на гори – улюблена метафора для дослідницької роботи в математиці. Таке порівняння є майже невідворотним: замерзлий світ, холодне розріджене повітря і невблаганна жорстокість альпінізму нагадують суворий ландшафт чисел, формул і теорем. І як скелелаз протиставляє свої здібності супроти незламного об’єкта – в даному випадку, справжньої кам’яної стіни, – так і математик часто опиняється в індивідуальному протистоянні людського розуму з непохитною логікою.

Світлина: The Simpsons

В математиці роль таких найвищих вершин відіграють великі гіпотези – чітко сформульовані твердження, які, скоріш за все, є істинними, але для яких ще не було знайдено остаточного доказу. Ці гіпотези мають глибоке коріння і значні наслідки. Пошук їх вирішення визначає шлях великої частини математиків. На тих, хто підкорить їх першими, очікує невмируща слава.

Дивовижно, але математики піднесли формулювання гіпотез на рівень високого мистецтва. Найбільш сувора наука плекає найм’якіші форми. Добре вибране, але не доведене, твердження може зробити його автора відомим на весь світ, іноді навіть більш відомим, ніж той, хто надасть кінцевий доказ. Гіпотеза Пуанкаре залишається гіпотезою Пуанкаре навіть після того, як Григорій Перельман довів, що вона є вірною. Зрештою, сер Джордж Еверест, британський головний геодезист Індії на початку XIX сторіччя, ніколи не сходив на гору, яка зараз носить його ім’я.

Як і кожна форма мистецтва, велика гіпотеза має задовольняти ряду суворих критеріїв. Перше і найголовніше – вона має бути «нетривіальною», тобто такою, яку не надто легко довести. Математики кажуть щось на кшталт «за задачу варто братись, лише коли вона чинить опір» і «якщо це не доводить до розпачу, ви, ймовірно, працюєте над занадто легкою задачею». Якщо гіпотезу доводять за декілька місяців, то її автору слід було б обдумати її трохи довше, перш ніж повідомляти про неї світ.

Першу спробу скласти вичерпний перелік найвеличніших математичних задач було зроблено на початку минулого сторіччя Давидом Гільбертом, якого називали останнім універсальним математиком. Хоча його перелік з 23 задач був дуже впливовим, в ретроспективі він виявився чимось схожим на строкату суміш.

Він містив фаворитів всіх часів, таких як гіпотеза Римана, яку часто вважають найвеличнішою з великих гіпотез, тією, яка залишається Еверестом математики понад сторіччя. Коли Гільберта запитали, про що б він спитав в першу чергу, якби прокинувся після 500-річного сну, він одразу обрав цю гіпотезу. У ній йдеться про важливу інтуїтивну здогадку про розподіл простих чисел – атомів арифметики – і її доведення матиме широкі наслідки для багатьох гілок математики.

«Якщо ви дивились мультсеріал "Футурама", можливо, пам'ятає, що серійним номером робота Бендера є 1729. А це число, між іншим, - незвичайне, навіть ім'я власне має - число Рамануджана-Гарді».

«Число Рамануджана-Гарді»

Але Гільберт також включив у перелік набагато більш невизначені і довільні цілі, такі як «математичний виклад аксіом фізики» і «подальший розвиток варіаційного числення». Інша з його задач, яка стосується зв’язку між двома багатогранниками рівного об’єму, була вирішена того ж року, якого він оголосив про неї, його студентом Максом Деном. Хоча Гільберт описав багато височезних гір, ця виявилась більше схожою на пагорб.

На найвищі вершини не сходять за одну спробу. Альпіністські експедиції ретельно створюють базові табори і закріплюють канати, і потім повільно торують свій шлях на вершину. Аналогічно і в математиці часто потрібно звести детально розроблені структури, щоб атакувати основну задачу. Прямий штурм вважається безглуздим та наївним. На створення цих допоміжних математичних конструкцій іноді потрібні сторіччя, а в кінці вони часто виявляються більш цінними, ніж сама підкорена теорема. І тоді підмостки стають постійним додатком до архітектури математики.

Чудовим прикладом цього явища є доказ Великої теореми Ферма Ендрю Вайлсом в 1994 році. Як добре відомо, Ферма написав свою гіпотезу на полях «Арифметики» Диофанта в 1639 році. Для її доведення знадобилось розвивати математичні інструменти понад три сторіччя. Зокрема, математикам довелось сконструювати дуже розвинуту комбінацію теорії чисел і геометрії. Ця нова галузь – арифметична геометрія – тепер є однією з найглибших і далекосяжних математичних теорій. Вона виходить далеко за межі гіпотези Ферма і використовується для вирішення багатьох визначних задач.

Велика гіпотеза також має бути глибокою і лежати у самих підвалинах математики. До речі, метафора з підкоренням вершини не адекватно відображає повний вплив доказу. Коли гіпотезу доведено, це не стільки кінець важкої подорожі, а скоріше початок ще більшої пригоди. Більш точне порівняння – це гірський перевал, сідлова точка, яка дозволяє перейти з однієї долини в іншу. І дійсно, саме через це гіпотеза Римана є такою потужною і через це її люблять. Вона відмикає багато інших теорем і інтуїтивних здогадок і передбачає широкі узагальнення. Математики завзято досліджують родючу долину, до якої вона відкриває доступ, хоча ця долина на цей день, прямо кажучи, є гіпотетичною.

Крім того, мають існувати суттєві свідчення на користь гіпотези. Широко відомим є визначення великої істини Нільсом Бором за тією ознакою, що протилежне їй також є великою істиною. Але це, очевидно, не випадок великої гіпотези. Позаяк зазвичай багато ґрунтовних свідчень вказують на її істинність, заперечення розглядають як дуже малоймовірне. Наприклад, перші 10 трильйонів випадків гіпотези Римана перевірили чисельними методами із використанням комп’ютерів. Хто ж на цей момент може все ж сумніватись в її правильності? Але всі ці допоміжні матеріали не задовольняють математиків. Вони вимагають абсолютної визначеності і хочуть знати, чому гіпотеза є вірною. Лише остаточне доведення може надати відповідь. Досвід показує, що можна легко пошитись в дурні. Контрприклади можуть перебувати далеко від берега, як той, що був знайдений Ноамом Елкісом, математиком з Гарвардського університету, який спростував гіпотезу Ейлера, варіант гіпотези Ферма, в якому стверджується, що четверту степінь ніколи не можна розписати як суму трьох інших четвертих степенів. Хто б міг припустити, що перший контрприклад являє собою число, що складається з 30 цифр? (20 615 6734 = 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604)

Найкращі гіпотези зазвичай мають скромне походження, таке як недбала нотатка Ферма на полях, проте їх наслідки і розгалуження зростають з роками. Також добре, якщо задачу можна записати стисло, переважно формулою, яка містить лише декілька символів. Гарна гіпотеза має поміститися на футболці. Гіпотеза Гольдбаха, наприклад, звучить так: «Будь-яке парне ціле число більше 2 можна виразити сумою двох простих чисел». Ця задача, сформульована в 1742 році, залишається невирішеною. Вона стала відомою завдяки роману «Дядько Петрос і гіпотеза Гольдбаха» (2000), написаному грецьким автором Апостолосом Доксіадісом (Apostolos Doxiadis), не в останню чергу через те, що видавець в якості піар-ходу запропонував мільйон доларів тому, хто зможе довести гіпотезу протягом двох років від дати виходу книги. Стислість великої гіпотези доповнює її сприйману красу. Можна навіть визначити математичну естетику як «вплив кожного символу». Проте ця елегантна краса може бути омаливою. Найкоротші твердження можуть вимагати найдовших доведень, як знову ж доведено оманною простотою зауваження Ферма.

«Платоністи вірять, що поза межами часу і простору існує математична сфера, в якій перебувають ідеальні форми математичних сутностей. Це необхідно розуміти буквально: вказана сфера є незалежною від людського суспільства і існувала б навіть в тому разі, якщо б людські істоти ніколи не розвинулись».

«Нехай платонізм помре»

Можливо, до цього переліку нам варто додати критерій з відповіді відомого математика Джона Конвея на запитання, що робить гіпотезу великою: «Вона має бути шаленою». Приваблива гіпотеза також певною мірою є дивною або фантастичною, з непередбачуваними діапазоном і наслідками. В ідеалі вона поєднує компоненти з віддалених сфер, які до того не зустрічались в єдиному твердженні, наче несподівані інгредієнти коронної страви.

Нарешті, непогано зрозуміти, що пригода не завжди увінчується успіхом. Так само як альпініст може бути зупинений непрохідною розщелиною, так і математики можуть зазнати невдачі. І якщо вони зазнають невдачі, вона є абсолютною. Не існує такої речі як доказ на 99% відсотків. Протягом двох тисячоріч люди намагались довести, що п’ятий постулат Евкліда – загальновідомий «постулат про паралельні», який, грубо кажучи, стверджує, що дві паралельні лінії не можуть пересікатися – можна вивести з інших чотирьох аксіом планіметрії. Потім, на початку XIX століття, математики створили детальні приклади неевклідової геометрії, спростувавши цю гіпотезу.

Втім, це не стало кінцем геометрії. Як не дивно, спростування великої гіпотези може стати навіть кращою новиною, ніж її успіх, позаяк невдача дає зрозуміти, що наша уявна мапа математичного світу є суттєво невірною. Поразка може бути продуктивною, протилежно Піровій перемозі. Неевклідова геометрія виявилась важливою провісницею викривленого простору-часу Ейнштейна, який грає таку вадливу роль у сучасному розумінні гравітації і космосу.

Аналогічно, коли Курт Гедель опублікував свою знамениту теорему про неповноту в 1931 році, яка показує, що в будь-якій несуперечливій математичній системі існують правдиві твердження, які не можна довести, він по суті дав негативну відповідь на одну з проблем Гільберта щодо несуперечливості арифметики. Проте теорема про неповноту, яку часто розглядають як найвеличніше досягнення у логіці з часів Аристотеля, не стала провісником кінця математичної логіки. Натомість вона призвела до розквіту, який навіть привів до розвитку сучасних комп’ютерів.

Отже, зрештою пошук рішень для великих гіпотез має ще дещо спільне із сходженням експедицій на найвищі вершини. Тільки після того, як всі щасливо повернулись додому, – незалежно від того, досягнуто мету чи ні, – можна зрозуміти всю велич експедиції. І в цей момент настає час для складання розповідей про героїчне сходження.

ПРО АВТОРА

Робберт Дійкграаф (Robbert Dijkgraaf) Robbert Dijkgraafнідерландський фізик-теоретик. Отримав освіту в Утрехтському університеті, де працював над докторською дисертацією під керівництвом Нобелівського лауреата Герардта Гоофта. Працював в Амстердамському університеті, з 2008 по 2012 роки був президентом Нідерландської академії науки і містецтв, почесний доктор Брюссельського вільного університету і Лейденського університету, наразі є директором Інституту передових досліджень в Принстоні, США. Галузь його спеціалізації - теорія струн і взаємодія математики і фізики загалом. Найбільше відомий за свою роботу над топологічною теорією струн і матричною теорією струн, на його честь названо інваріанти Дійкграафа-Віттена.

Джерело: Quantamagazine
Ліцензія: copyright ©

Інші статті

Всі голоси іспанської мови
Словник загальної іспанської мови забезпечить економію часу і коштів і більшу ефективність серед носіїв різних варіантів іспанської мови >>>
Кузини арабської мови вижили в Омані - проте чи надовго?
Мова шехрі є лінгвістичною рідкістю, якою розмовляють декілька тисяч людей в на півдні Аравійського півострова. >>>
Про те, чому мови і діалекти насправді відрізняються
Виявляється, що відмінність між мовою і діалектом реальна і може бути виражена числами, отриманими з порівняння слів обраних мов >>>
Рюкюські мови - вивчати не можна втратити
Шість рюкюських мов потрапили в «Атлас мов світу, які перебувають в небезпеці зникнення» ЮНЕСКО >>>
Чому ніхто не розмовляє індонезійською мовою
Метою індонезійської мови було розбити бар’єри спілкування між понад 300-ми етнічними групами і полегшити їх включення в нову державу. >>>
Чи застосовує Каталонія школи як політичну зброю?
Іспанські націоналісти засудили каталаномовну освіту як зловісну силу, що підбурює сепаратистські настрої. >>>
Мови в кібернетичну епоху
Технології можуть допомогти врятувати малі мови, або можуть допомогти вбити їх. >>>
Люксембурзька - мала мова великого князівства
Особливе місце для люксембурзької: місцева мова Великого князівства переживає ренесанс, і уряд поспішає скористатись цим >>>
Про чисті мови і брудні діалекти
Те, чому певний варіант мови стали розглядати стандартом, а його варіанти понизили статусом до «діалекту», є продуктом історії і політики. >>>
Ретороманська - справжня швейцарська мова
Незважаючи на свій cтатус офіційної, зв'язок з Римською імперією і унікальну культуру, ретороманська мова повільно вмирає. >>>