Скільки існує чисел? Доказ щодо нескінченності наближає математику до відповіді
Протягом 50 років математики вважали, що загальна кількість дійсних чисел є непізнанною, але нові докази вказують на протилежне. Один з результатів підсилює аргументацію проти континуум-гіпотези, дуже впливового припущення про рівні нескінченностей, зробленого аж 1878 року, і говорить про те, що ще один рівень безкінечності перебуває між двома, які за припущеннями майже 150-річної давнини мають бути першим і другим безкінечно великими числами. Натомість інший надає перевагу тому, що континуум-гіпотеза є вірною.
В 1873 році німецький математик Георг Кантор схитнув математику до підвалин, коли виявив, що «дійсні» числа, які заповнюють числову пряму, – більшість із них із нескінченною кількістю цифр, як 3,141592… – перевершують за кількістю «натуральні» числа, такі як 1, 2 і 3, хоча і тих й інших існує нескінченно багато.
Нескінченні множини чисел вносять безлад в наше інтуїтивне розуміння про розмір. Для початку, порівняймо натуральні числа {1, 2, 3, …} із непарними числами {1, 3, 5, …}. Можна було б подумати, що перша множина є більшою, оскільки тільки половина з її елементів з’являється в другій множині. Однак Кантор зрозумів, що елементи цих двох множин можна поставити у взаємно однозначну відповідність. Можна створити пару з перших елементів кожної множини (1 і 1), потім пару з їхніх других елементів (2 і 3), потім пару з їхніх третіх елементів (3 і 5) і так далі до нескінченності, поєднуючи всі елементи обох множин. В цьому розумінні ці дві нескінченні множини мають однаковий розмір, або те, що Кантор назвав «кардинальністю» (тобто «потужністю множини»). Він позначив їхній розмір кардинальним числом ℵ0 («алеф-нуль»).
Але Кантор виявив, що натуральні числа не можна поставити у взаємно однозначну відповідність із континуумом дійсних чисел. Наприклад, якщо ви спробуєте створити пару 1 із 1,00… , а 2 із 1,01.., то пропустите безкінечно багато дійсних чисел (наприклад 1,001…). Ви не зможете перелічити їх; їхня кардинальність є більшою, ніж у натуральних чисел.
Розміри нескінченності тут не зупиняються. Кантор виявив, що степенева множина безкінечної множини – множина всіх підмножин її елементів – має більшу кардинальність, ніж має вона сама. Кожна степенева множина сама має степеневу множину, так що кардинальні числа утворюють нескінченно високу башту нескінченностей.
Стоячи у підніжжя цієї величезної будівлі, Кантор сфокусувався на перших декількох поверхах. Йому вдалося довести, що множина, утворена із різних способів впорядкування натуральних чисел (наприклад, від найменшого до більшого, або спочатку із всіма непарними числами) має кардинальність ℵ1, на один рівень вище від натуральних чисел. Більше того, кожен з цих «типів впорядкування» кодує дійсне число.
Його континуум-гіпотеза стверджує, що це є точно розмір континууму, тобто існує точно ℵ1 дійсних чисел. Іншими словами, кардинальність континууму безпосередньо слідує за ℵ0, кардинальністю натуральних чисел, без нескінченності іншого розміру між ними. Але на велику біду Кантора довести це йому не вдалося.
«Якщо ви дивились мультсеріал "Футурама", можливо, пам'ятає, що серійним номером робота Бендера є 1729. А це число, між іншим, - незвичайне, навіть ім'я власне має - число Рамануджана-Гарді».
В 1900 році математик Давид Гільберт включив континуум-гіпотезу під першим номером в свій знаменитий перелік 23 математичних задач, які належить вирішити в XX сторіччі. Гільберт був зачарований виникаючою математикою нескінченності – «раєм Кантора», як він її назвав, – і континуум-гіпотеза здавалася тим її плодом, що звисав найнижче. Натомість незабаром шокуючі відкриття перетворили запитання Кантора на глибоку гносеологічну загадку.
Проблеми виникли 1931 року, коли австрійський логік Курт Гедель відкрив, що будь-який набір аксіом, який можна було б покласти в основу математики, неминуче буде неповним. Завжди будуть питання, які цей перелік наріжних правил не зможе вирішити, істинні математичні факти, які вони не зможуть довести. У Геделя відразу закралися підозри, що континуум-гіпотеза і є таким випадком: задача, яка є незалежною від стандартних аксіом математики.
Ці аксіоми, 10 загалом, відомі як ZFC (аксіоми Цемело-Френкеля із аксіомою вибору), є фундаментом майже всієї сучасної математики. Вони описують основні властивості наборів об’єктів, тобто множин. Оскільки практично всю математику можна побудувати із множин (наприклад, порожня множина {} означає 0; {{}} означає 1; {{},{{}}} означає 2, і так далі), правил для множин достатньо для того, щоб створювати докази у всій математиці.
В 1940 році Гедель показав, що аксіоми ZFC не можна використати, щоб спростувати континуум-гіпотезу. Потім в 1963 році американський математик Пол Коен показав протилежне: їх не можна використати і для того, щоб довести її. Докази Коена і Геделя означають, що континуум-гіпотеза є незалежною від аксіом ZFC, вони дозволяють обидва її рішення.
Додатково до континуум-гіпотези, більшість інших запитань щодо нескінченних множин також виявляються незалежними від ZFC. Цю незалежність іноді інтерпретують як таку, що означає, що ці запитання не мають відповіді, але більшість теоретиків множин вважають це глибоким нерозумінням. Вони вважають, що континуум має конкретний розмір, нам просто потрібно більше логічних інструментів, щоб визначити його. Ці нові інструменти матимуть форму нових аксіом: якщо в ZFC відсутній засіб для винайдення математичної істини, це не означає, що не існує сама істина.
Після Коена теоретики множин намагаються підперти основи математики нескінченності доданням щонайменше однієї нової аксіоми до ZFC. Ця аксіома мала б освітлювати структуру нескінченних множин, породжувати природні і красиві теореми, уникати фатальних протиріч і, звичайно, відповісти на запитання Кантора.
Гедель, зі свого боку, вважав, що континуум-гіпотеза є невірною, що існує більше дійсних чисел, ніж вважав Кантор. Він вважав, що їх кількість становить ℵ2. Він передбачав, як він писав в 1947 році, що «роль континуум-гіпотези в теорії множин полягатиме в цьому, що вона зрештою призведе до відкриття нових аксіом, які зроблять можливим спростування припущення Кантора».
Джерело світла
З’явилися дві конкуруючі аксіоми, які роблять саме це. Десятиліттями вони вважалися логічно несумісними.
Щоб зрозуміти їх, необхідно повернутися до роботи Пола Коена від 1963 року, де він розробив техніку, яка називається форсингом (forcing). Починаючи з моделі математичного всесвіту, яка включала ℵ1 дійсних чисел, Коен використав форсинг для збільшення континууму, щоб включити нові дійсні числа понад ті, яка містила ця модель.
Щоб приблизно зрозуміти, як працює форсинг, уявіть ℵ1 дійсних чисел, які перебувають на всій числовій прямій. Цю лінію можна розрізати безкінечною кількістю способів. Наприклад, можна розрізати лінію на два проміжки, які починаються з кожного боку від деякого дійсного числа (тобто не включають його самого), а потім зробити це для кожного іншого дійсного числа. Коен сформулював фільтр, який вибирає один проміжок із кожного можливого розрізання числової лінії. Кожен додатковий проміжок вибирають так, що він частково збігається з усіма іншими проміжками, які вже є у фільтрі. Коли цей процес фільтрації завершується, перекриття всіх відрізків є зникомо малим – множиною, яка складається з одного дійсного числа. Але оскільки кожне дійсне число, з якого починали процедуру, було однією з точок, де числову пряму розрізали на дві частини (а отже його виключено з проміжку, вибраного з цього розрізання), перекриття всіх відрізків в фільтрі не може містити жодного з дійсних чисел, з яких починали процедуру. Це нове дійсне число. Узагальнення цього методу дозволяють розширювати континуум так, щоб він включав стільки дійних чисел, скільки забажається.
Коен та його сучасники скоро з’ясували, що, залежно від особливостей процедури, форсинг дозволяє додавати стільки дійсних чисел, скільки ви хочете, – скажімо, ℵ2 або ℵ35. Окрім нових дійсних чисел, математики узагальнили метод Коена, щоб створювати різноманітні інші можливі об’єкти, деякі логічно несумісні одни з іншими. Це створило мультиверс можливих математичних всесвітів.
«Його метод створює неоднозначність в нашому всесвіті множин», – говорить Гью Вудін (Hugh Woodin), теоретик множин із Гарвардського університету. – «Він створює цю хмару віртуальних всесвітів, і як мені дізнатися, в якому перебуваю я?»
«Платоністи вірять, що поза межами часу і простору існує математична сфера, в якій перебувають ідеальні форми математичних сутностей. Це необхідно розуміти буквально: вказана сфера є незалежною від людського суспільства і існувала б навіть в тому разі, якщо б людські істоти ніколи не розвинулись».
Що було віртуальним і що було дійсним? Який з двох суперечних об’єктів, вигаданих різними процедурами форсингу, слід допустити? Навіть не було ясно коли, або навіть чи, дійсно існує об’єкт, тільки через те, що він міг би бути вигаданий методом Коена. Щоб вирішити цю проблему, математики сформулювали різноманітні «аксіоми форсингу» – правила, які встановлювали фактичне існування конкретних об’єктів, які робив можливими метод Коена.
«Якщо ви можете уявити існування об’єкта, то він існує; це наріжний інтуїтивний принцип, який приводить до аксіом форсингу», – пояснює ізраїльський математик Менахем Магідор (Menachem Magidor). В 1988 році він, Меттью Фореман (Matthew Foreman) і Сахарон Шелах (Saharon Shelah) довели цей етос до його логічного завершення, сформулювавши максимум Мартіна, який говорить, що будь-що, що можна вигадати з використанням будь-якої процедури форсингу, буде дійсною математичною сутністю, якщо тільки ця процедура задовольняє певній умові узгодженості.
Незважаючи на всю широту максимума Мартіна, для того щоб одночасно дозволяти всі ці продукти форсингу (при задовільненні вказаної умови узгодженості), розмір континууму стрибає лише до консервативної величини ℵ2 – на одне кардинальне число більше, ніж мінімальне можливе значення.
Окрім вирішення проблеми континууму, максимум Мартіна виявився потужним інструментом для дослідження властивостей нескінченних множин. Прибічники говорять, що він сприяє багатьом широким твердженням і загальним теоремам. Натомість прийняття того, що континуум має кардинальність ℵ1, має тенденцію до отримання більшої кількості виключних випадків і перегород для доказів – «рай контрприкладів», за словами Магідора.
Максимум Мартіна став дуже популярним як розширення ZFC. Але в 1990-х роках Вудін запропонував іншу переконливу аксіому, яка також вбиває континуум-гіпотезу і закріплює континуум на величині ℵ2, але зовсім іншим шляхом. Вудін назвав аксіому (*), вимовляється «стар» («зірка» англійською мовою), оскільки вона, за його словами, була «як яскраве джерело – джерело структури, джерело світла».
(*) стосується модельного всесвіту множин, який задовольняє дев’яти аксіомам ZF плюс аксіомі детермінованості, а не аксіомі вибору. Детермінованість і вибір логічно протирічать одне одному, через що (*) і максимум Мартіна здавалися непримиренними. Але Вудін вигадав процедуру форсингу, щоб розширити свою модель математичного всесвіту на більшу, яка є сумісною із ZFC, і саме в цьому всесвіті аксіома (*) є істинною.
Що робить (*) такою зручною для пояснення, – це те, що вона дозволяє математикам робити твердження в формі «для всіх X існує Y, так що Z» при оперуванні з властивостями множин в цій області. Такі твердження є потужними методами математичного мислення. Одним таким твердженням є: «Для всіх множин дійсних чисел ℵ1 існують дійсні числа, які не включені в ці множини». Це є запереченням континуум-гіпотези. Отже, згідно з (*), припущення Кантора є невірним. Той факт, що (*) дозволяє математикам зробити такий висновок і доводити багато інших властивостей множин дійсних чисел, робить її «привабливою гіпотезою», за словами Ральфа Шиндлера (Ralf Schindler), математика з Університету Мюнстера, що в Німеччині.
Маючи поряд дві дуже продуктивні аксіоми, прибічники форсингу зіткнулися із завадним надлишком.
«І аксіома форсингу (максимум Мартіна), і аксіома (*) – красиві і здаються правильними і природними», – говорить Шиндлер, – «то ж яку вибрати?»
Якщо аксіоми протирічать одна одній, то застосування однієї означало б принесення в жертву корисних наслідків іншої, і винесення суб’єктивного рішення могло б здаватися довільним.
«Вам довелося б навести якісь аргументи, чому одна з них є вірною, а інша невірною, чи, можливо, обидві мали б бути невірними», – говорить Шиндлер.
Натомість його нова робота в співавторстві з Давидом Асперо (David Asperó) з університету Східної Англії, що в Великобританії, показує, що максимум Мартіна ++ (технічний варіант максимуму Мартіна) включає в себе (*).
«Якщо ви уніфікуєте ці дві теорії, як це зробили ми», – пояснює Шиндлер, – «я б сказав, що ви можете взяти це як приклад на користь того, що, можливо, люди щось зрозуміли правильно».
Відсутня ланка
20 років тому Асперо і Шиндлер разом були молодими дослідниками в інституті у Відні. Їхній доказ зародився декілька років потому, коли Шиндлер прочитав рукопис теоретика множин Рональда Йенсена (Ronald Jensen). В ньому Йенсен винайшов техніку, названу L-форсинг. Шиндлер був вражений нею і попросив свого студента спробувати розвинути її глибше. П’ять років потому, в 2011, він описав L-форсинг Асперо, який завітав до нього в Мюнстер. У Асперо одразу виникла думка, що вони могли б використати цю техніку для того, щоб вивести (*) з максимуму Мартіна ++.
Вони заявили, що знайшли доказ, наступного року, в 2012. Вудін негайно знайшов помилку, і вони із соромом відкликали статтю. Вони часто переглядали доказ в наступні роки, але незмінно наштовхувалися на те, що їм не вистачає однієї ключової ідеї, «відсутньої ланки», в логічному ланцюжку, який вів від максимуму Мартіна ++ до (*).
Їхній план атаки для виведення останньої аксіоми з першої полягав в тому, щоб розробити процедуру форсингу, подібну до L-форсингу, і за її допомогою згенерувати тип об’єкта, що називається свідком. Цей свідок підтверджує всі твердження форми (*). Поки процедура форсингу підкоряється необхідній умові узгодженості, максимум Мартіна ++ буде встановлювати, що свідок існує, оскільки йому можна надати існування через форсинг.
«Ми знали, як побудувати такий форсинг», – говорить Асперо, але вони не могли побачити, як гарантувати, щоб їхня процедура форсингу відповідала ключовій вимозі максимуму Мартіна. Проте в жовтні 2018 року на відпочинку в Італії, під час подорожі автомобілем, у Асперо виникло миттєве прояснення: розбити форсинг на рекурсивну послідовність форсингів, кожен з яких відповідає необхідним умовам.
Інші зірки
Конверґенція максимуму Мартіна++ і (*) створює міцний фундамент для башти нескінченностей, в якій кардинальністю континууму є ℵ2.
«Питання в тому, чи правда це?» – запитує Пітер Кьолнер (Peter Koellner), теоретик множин з Гарварду.
За його словами, знання того, що найсильніша аксіома форсингу включає в себе (*), може рахуватися як свідчення і за, і проти цього: це залежить від того, чим є те, до чого ви застосовуєте (*).
Результат конверґенції піддасть правдоподібність (*) ретельному перегляду, оскільки (*) дозволяє математикам робити ці потужні твердження «для всіх X, існує Y», які мають наслідки для властивостей дійсних чисел.
«В математиці роль найвищих вершин відіграють великі гіпотези – чітко сформульовані твердження, які, скоріш за все, є істинними, але для яких ще не було знайдено остаточного доказу. Ці гіпотези мають глибоке коріння і значні наслідки. Пошук їх вирішення визначає шлях великої частини математиків. На тих, хто підкорить їх першими, очікує невмируща слава».
Незважаючи на надзвичайну корисність (*) в уможливленні таких тверджень, начебто без протиріччя, Кьолнер є одним з тих, хто сумнівається в аксіомі. Один з її наслідків – дзеркальне відображення структури певного великого класу множин набагато меншою множиною – видається йому дивним.
Цікаво, що людина, яка могла б бути найбільш зацікавленою щодо правильності (*), також обернулась проти неї.
«Мене вважають зрадником», – говорить Вудін.
Понад двадцять п’ять років тому, коли він висунув (*), Вудін вважав, що континуум-гіпотеза є невірною, а отже (*) була джерелом світла. Але приблизно десять років тому він змінив свою думку. Тепер він вважає, що континуум має кардинальність ℵ1 і що (*) та форсинг «приречені».
Коли він сформулював (*), Вудін також сформулював сильніші варіанти, що називаються (*)+ і (*)++, які застосовуються до повної степеневої множини (множини всіх підмножин) дійсних чисел. Відомо, що в різних моделях математичного всесвіту, якщо не взагалі, (*)+ протирічить максимуму Мартіна. В новому доказі, роботу над яким він розпочав в травні 2021 року, Вудін показав, що (*)+ і (*)++ є еквівалентними, що означає, що (*)++ також протирічить максимуму Мартіна в різних моделях.
(*)+ і (*)++ набагато перевершують (*), з однієї причини: вони дозволяють математикам робити твердження в формі «Існує множина дійсних чисел…», а отже описувати та аналізувати властивості будь-яких і всіх множин дійсних чисел. (*) не забезпечує такої «екзистенційної теорії» множин дійсних чисел. І оскільки максимум Мартіна, здається, протирічить (*)+ і (*)++, здається, що екзистенційні твердження про множини дійсних чисел можуть бути неможливими в системі максимуму Мартіна. Для Вудіна це є вирішальним: «Те, про що це говорить, – це вирок».
Інші основні гравці все ще «переварюють» доказ Вудіна. Але деякі підкреслили, що його аргументи є здогадними. Навіть Вудін визнає, що несподіване відкриття могло б змінити картину (і його думку), як вже сталося раніше.
Багато фахівців в спільноті очікують результатів спроби Вудіна довести гіпотезу «остаточної L» (ultimate L conjecture): тобто існування всеохопної генералізації моделі всесвіту множин Геделя. Якщо остаточна L існує (а Вудін має гарні підстави думати, що вона існує, і він вже написав сотні сторінок зі спробою доведення), то для нього буде очевидно вважати, що «омріяною аксіомою», яку необхідно додати до ZFC, має бути аксіома остаточної L, або твердження про те, що остаточна L є всесвітом множин. І в остаточній L Кантор правий: континуум має кардинальність ℵ1. Якщо доказ вийде, аксіома остаточної L буде якщо і не очевидним вибором розширення для ZFC, то щонайменше важким суперником для максимуму Мартіна.
З того часу як Гедель та Коен встановили незалежність континуум-гіпотези від ZFC, математика нескінченностей була історією із можливістю власного вибору, в якій теоретики множин можуть за допомогою форсингу просунути кількість дійсних чисел до будь-якого рівня – хоч ℵ35, хоч ℵ1000 – і досліджувати наслідки. Але тепер, коли результат Асперо і Шиндлера переконливо вказує на ℵ2, а Вудін будує випадок для ℵ1, встановилася чітка дихотомія і видається можливим відвертий переможець. Більшість теоретиків множин не бажали б нічого більше, ніж залишити математичний мультиверс і стати разом за спиною єдиної картини раю Кантора, що є достатньо прекрасним, щоб називати його істинним.
Джулієт Кеннеді (Juliette Kennedy), математичний логік і філософ з Університету Гельсінки, вважає, що скоро ми зможемо повернутися в «світ до гріхопадіння»: «Гільберт, коли виголошував свою промову, сказав, що людська гідність залежить від нашої здатності вирішувати питання в математиці, даючи відповідь «так» чи «ні». Це [континуум-гіпотеза] була справа спокутування людства, того, чи є математика тим, чим ми завжди її вважали, – встановленням істини. Не просто цієї істини, тієї істини. Не просто можливостей. Ні. Континуум має цей розмір – і крапка».
